- Матрица смежности
-
Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы.
Содержание
Определение
Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента aij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.
Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента aii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.
Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.
Примеры
- Ниже приведён пример неориентированного графа и соответствующей ему матрицы смежности A. Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, при этом в зависимости от конкретных приложений элемент может считаться равным либо одному (как показано ниже), либо двум.
-
Граф Матрица смежности
- aij — число рёбер, связывающих вершины и , причем в некоторых приложениях при каждая петля (ребро при некотором ) учитывается дважды.
- Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.
Свойства
Матрица смежности неориентированного графа симметрична, а значит обладает действительными собственными значениями и ортогональным базисом из собственных векторов. Набор её собственных значений называется спектром графа, и является основным предметом изучения спектральной теории графов.
Два графа G1 и G2 с матрицами смежности A1 и A2 являются изоморфными если и только если существует перестановочная матрица P, такая что
- PA1P-1 = A2.
Из этого следует, что матрицы A1 и A2 подобны, а значит имеют равные наборы собственных значений, определители и характеристические многочлены. Однако обратное утверждение не всегда верно — два графа с подобными матрицами смежности могут быть неизоморфны.
Степени матрицы
Если A — матрица смежности графа G, то матрица править] Структура данных
Матрица смежности и cписки смежности являются основными структурами данных, которые используются для представления графов в компьютерных программах
Использование матрицы смежности предпочтительно только в случае неразреженных графов, с большим числом рёбер, так как она требует хранения по одному биту данных для каждого элемента. Если граф разрежён, то большая часть памяти напрасно будет тратиться на хранение нулей, зато в случае неразреженных графов матрица смежности достаточно компактно представляет граф в памяти, используя примерно бит памяти, что может быть на порядок лучше списков смежности.
В алгоритмах, работающих со взвешенными графами (например в алгоритме Флойда-Уоршелла), элементы матрицы смежности вместо чисел 0 и 1, указывающих на присутствие или отсутствие ребра, часто содержат веса самих ребер. При этом на место отсутствующих ребер ставят некоторое специальное граничное значение (англ. sentinel), зависящее от решаемой задачи, обычно 0 или .
См. также
Литература
- Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4
Полезные ссылки
Категории:- Теория графов
- Типы матриц
Wikimedia Foundation. 2010.